5. Elektronen

5.1 Elektronenbeugung – 5.2 Doppelspaltexperimente mit Elektronen und Atomen – 5.3 Die Wellenlänge von Elektronen
5.4 Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen und mit Elektronen – 5.5 Wahrscheinlichkeitsinterpretation und Wellenfunktion
5.6 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Doppelspaltexperiment – 5.7 Selbstkontrolle – 5.8 Zusammenfassung

Die in den vorhergegangenen Lektionen am Beispiel der Photonen durchgeführten Überlegungen werden nun anhand des Verhaltens von Elektronen als Quantenobjekten in ähnlicher Weise, aber vertieft und ergänzt, betrachtet. Die Wellenfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte werden eingeführt und der naive Welle-Teilchen Dualismus wird durch die Born´sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation abgelöst.

Die in dieser Lektion betrachteten Experimente können Sie wiederum mit dem Simulationsprogramm „Doppelspalt“ durchführen. Wenn Sie sich das Programm „Doppelspalt.exe“ noch nicht heruntergeladen haben (in Lektion 4.0), gehen Sie im Menü auf Die Materialien – Downloads – Simulationsprogramme – 4. Simulationsprogramm zum Doppelspaltexperiment

Falls Sie es noch nicht gemacht haben,
laden Sie sich bitte jetzt das Kapitel 5 des Lehrtextes als pdf-Datei herunter.

5.1 Elektronenbeugung

Der Versuch mit der Elektronenbeugungsröhre demonstriert, dass auch Elektronen Wellenverhalten zeigen.

Experiment 5.1: In einer Elektronenröhre (Abb. 5.1 a) emittiert die mit $6 V$ geheizte Kathode Elektronen. Diese durchlaufen eine Beschleunigungsspannung $U_B = 5 kV$ . Sie werden von den nacheinander angeordneten Elektroden K1, K2 und A1 zu einem Elektronenstrahl gebündet. In der durchbohrten Anode A2 durchquert der Strahl eine dünne Folie aus polykristallinem Graphit. Auf dem Leuchtschirm erkennt man mehrere helle Ringe um zentralen Fleck in der Mitte (Abb. 5.1 b). Vergrößerung von $U_B$ bewirkt eine Verkleinerung der Radien.

Abb. 5.1.1 b) Elektronenbeugungsmuster auf dem Schirm

Die hellen Ringe werden durch Elektronenbeugung verursacht. Wie bei der Bragg-Reﬂexion von Röntgenstrahlen werden die Elektronen am Kristallgitter des Graphits gebeugt. Dieses Beugungsphänomen ist ein starker Hinweis darauf, dass die Elektronen neben ihrem wohlbekannten Teilchenverhalten auch Wellenverhalten zeigen.

Das Ergebnis des Versuchs lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Die hellen Ringe werden durch die Elektronenbeugung verursacht. Dies ist ein starker Hinweis darauf, dass Elektronen neben dem Teilchenverhalten auch ein Wellenverhalten zeigen.

5.2 Doppelspaltexperimente mit Elektronen und Atomen

Auch mit Elektronen beobachtet man Interferenzphänomene am Doppelspalt: Starten Sie das Simulationsprogramm zum Doppelspaltexperiment und führen Sie die im Lehrtext beschriebenen Experimente 5.2 und 5.3 durch.

Im Experiment 5.2 führen Sie den Doppelspaltversuch mit Elektronen (mit den gleichen Spezifikationen wie im Realexperiment durch Claus Jönsson, Uni Tübingen 1961) durch, in Experiment 5.3 mit über zehntausendfach größeren Heliumatomen. Auf der obigen Abbildung ist an experimentellen Originaldaten (Uni Konstanz 1991) der Aufbau eines Interferenzmusters aus einzeln nachgewiesenen Heliumatomen erkennbar. Im Falle des Versuches mit Elektronen sieht das Ergebnis ähnlich aus. Bei beiden Experimenten ist das Verhalten der Teilchen völlig analog zu dem von Photonen (vgl. Lekt. 4.2): Die einzeln nachgewiesenen Teilchen geben Ihre gesamte Energie auf eine einzelne Stelle auf dem Schirm ab und hinterlassen einzeln punktförmige Flecke an scheinbar zufälligen Stellen, was den Teilchencharakter unterstreicht. Je mehr Teilchen nachgewiesen werden, desto deutlicher setzt sich die Verteilung aber zur charakteristischen Wellenerscheinung des bekannten Doppelspalt-Interferenzmusters zusammen. Wäre es jedoch tatsächlich eine reine Wellenerscheinung, müsste das Interferenzmuster zwar sehr schwach, aber doch von Anfang an auf dem Schirm vollständig erscheinen.

Die Ergebnisse der Experimente führen zu folgendem Fazit:

Würden die Elektronen ein reines Wellenverhalten zeigen, so müsste das Interferenzmuster sofort als Ganzes, wenn auch mit sehr schwacher Intensität, auf dem Schirm erscheinen. Statt dessen wird jeweils ein wohlbestimmter Energiebetrag an einer eindeutigen Stelle des Schirms abgegeben, wie es für das teilchenhafte Verhalten charakteristisch ist.

Weder ein reines Wellenmodell noch ein reines Teilchenmodell beschreiben das Verhalten der Elektronen.

Die Entwicklung der Materiewellen-Interferometer

Hier können Sie sich ein Arbeitsblatt zum Verhalten von Elektronen oder Atomen am Doppelspalt herunterladen.

5.3 Die Wellenlänge von Elektronen

Wenn Teilchen, also z. B. Elektronen, Welleneigenschaften haben, wie in Lektion 5.2 dargelegt, dann müsste diesen Elektronen auch eine Wellenlänge zugeschrieben werden können. Das war die (experimentell noch nicht bestätigte) Ausgangsüberlegung von Louis-Victor de Broglie (sprich: ´broej´) in seiner Dissertation von 1924. Er setzte dabei die Energie-Masse-Äquivalenz ( $E = m \cdot c^2$ ) mit der Photonenenergie ( $E_{Phot} = h \cdot f$ )gleich. Über den Impuls $p = m \cdot c$ , der eine typische Teilchengröße darstellt und der Grundgleichung der Wellenlehre $c = \lambda \cdot f$ kommt man zur

De-Broglie-Beziehung zwischen Wellenlänge und Impuls:

$\displaystyle{p = \frac{h}{\lambda}}$

oder

$\displaystyle{\lambda = \frac{h}{p}}$

Das Wellenverhalten von Elektronen wird durch die de-Broglie-Wellenlänge $\lambda$ gekennzeichnet. Charakteristisch ist bei dieser Gleichung die Verbindung der klassischen „Teilchengröße“ $p$ (Impuls) mit der klassischen „Wellengröße“ $\lambda$ (Wellenlänge) über das Planck´sche Wirkungsquantum $h$ .

Erst einige Jahre später konnte dann diese Beziehung durch ein Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre überprüft werden, deren Herleitung und Erläuterung Sie im Kapitel 5 des Skriptdownload finden (Die Materialien – Skript).

Tatsächlich findet man über die Radien der Beugungsringe des Versuchs mit der Elektronenbeugungsröhre (Lekt. 5.1) sowie den Netzebenenabständen d des durchstrahlten Graphitkristalls über die Bragg-Beziehung Elektronenwellenlängen (abhängig von der kinetischen Energie) im zweistelligen Pikometerbereich ( $\approx 1,7 \cdot 10^{-11}m$ ).

5.4 Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen und mit Elektronen

Betrachten wir noch einmal das Verhalten klassischer Teilchen an einem Doppelspalt: Drücken Sie mit der Maus auf die „Düse“ der Farbspraydose. Die Tröpfchen der Spraydose repräsentieren in diesem Fall die klassischen Teilchen.

Sie können diese kleine Simulation vom Verhalten klassischer Teilchen am Doppelspalt auch mit dem Doppelspaltsimulationsprogramm (Experimente 5.4 und 5.5 im Skript) (s. Simulationsprogramm zum Doppelspaltexperiment) oder auch als Realexperiment durchführen. Dazu schneiden Sie mit einer scharfen Klinge zwei Spalte in ein Blatt Papier oder Pappe und sprühen mit einer Farbsprühdose kleine Farbtröpfchen durch diesen Doppelspalt auf einen dahinter liegenden Papierschirm.

Beobachtung: Die Intensität der Farbe auf dem Schirm ist hinter den Spalten (sofern sie nicht zu weit auseinanderstehen, wie in der Simulation oben) am größten und nimmt nach außen hin kontinuierlich und ohne auffällige Strukturen ab (Bild 5.4.1 (a)). Wir beschreiben die Verteilung der Farbintensität durch eine Funktion $P(x)$ (Bild (d), die als Summe der Einzelspaltverteilungen (ein Spalt offen, der andere zu: Bilder (b) und (c)) zustande kommt, wie an folgender Abbildung (5.4.1) ersichtlich.
Es gilt: $P(x) = P_1(x) + P_2(x)$ .

5.4.1 Doppelspaltversuch mit Farbtröpfchen (klassische Teilchen)

Führt man das gleiche Experiment mit Elektronen durch (Experiment 5.6 im Skript), ergibt sich für die jeweils einzeln geöffneten Spalte ein ähnliches Verteilungsmuster (vgl. untere Abbildung 5.4.2 (b) und (c)). Öffnet man aber beide Spalte, ergibt sich eine andere Gesamtverteilung als für klassische Teilchen. Nun erkennt man ein Interferenzmuster statt einer Summenverteilung.

Für Elektronen gilt demnach: $P(x) \neq P_1(x) + P_2(x)$ .

Abb. 5.4.2 Doppelspaltversuch mit Elektronen

Bemerkenswert ist dabei, dass bei dieser Gesamtverteilung mehrere Intensitätsminima entstehen, die bei der Einzelspaltverteilung nicht vorhanden sind. Die Elektronen verteilen sich demnach unterschiedlich, je nachdem, ob der andere Spalt zusätzlich geöffnet ist oder nicht.

Wir halten folgendes fest:

Bei klassischen Teilchen ist die Verteilung am Doppelspalt einfach die Summe der Einzelverteilungen:

$P(x) = P_1(x) + P_2(x)$ .

Für Quantenobjekte gilt dies nicht:

$P(x) \neq P_1(x) + P_2(x)$

Dieses merkwürdige Verhalten soll nun weiter untersucht werden.

Hier können Sie sich ein Arbeitsblatt zu den Intensitätsverteilungen am Doppelspalt herunterladen.

5.5 Wahrscheinlichkeitsinterpretation und Wellenfunktion

Die Intensitätsverteilung der Elektronen wurde in den Versuchen des letzten Abschnitts (5.4) durch eine Verteilungsfunktion $P(x)$ charakterisiert, die angab, wie hoch die Intensität an einer bestimmten Stelle $x$ war. Diese Verteilungsfunktion interpretiert man quantenmechanisch als eine Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ . Multipliziert mit $\Delta x$ (bzw. $\Delta V$ ) sagt sie etwas über die Wahrscheinlichkeit aus, ein einzelnes Quantenobjekt bei einer Messung im Intervall $\Delta x$ (bzw. im Raumbereich $\Delta V$ ) um den Ort $x$ herum anzutreffen (z. B. an einer bestimmten Stelle auf dem Schirm hinter einem Doppelspalt). Man kann über quantenmechanische Einzelereignisse nur noch statistische Aussagen machen (vgl. Lektion 4.2): Ist die Wahrscheinlichkeitsdichte sehr hoch, ist es sehr wahrscheinlich, das Objekt dort anzutreffen; ist sie null, findet man dort niemals ein Quantenobjekt.

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ lassen sich Quantenobjekte wie Elektronen und Photonen (in großer Anzahl) beschreiben. Man kann also z. B. die Verteilung eines identisch präparierten Ensembles (Definition siehe Lektion 4.3) von Elektronen auf dem Schirm beim Doppelspaltexperiment vorhersagen, wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ bekannt ist. Eine Wahrscheinlichkeitsaussage lässt sich auf diese Weise auch experimentell überprüfen, indem man die relativen Häufigkeiten mit Hilfe von Detektoren nachweist und z. B. durch Histogramme grafisch darstellt. Das Ziel quantenmechanisch-mathematischer Berechnungen ist es, die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(x)$ in der jeweils interessierenden physikalischen Situation zu ermitteln.

Es hat sich allerdings als vorteilhaft herausgestellt, nicht mit $P(x)$ selbst zu arbeiten, sondern mit einer Funktion $\psi(x)$ , die man Wellenfunktion nennt.
Man erhält $P(x)$ aus $\psi(x)$ durch Quadrieren: $P(x) = |\psi(x)|^2$ .

Es ist vorteilhaft mit der Wellenfunktion $\psi(x)$ , statt mit $P(x)$ zu arbeiten, da:

> die Interferenzerscheinung durch $\psi(x)$ erklärt werden kann.
> der Teilchencharakter durch die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von $P(x) = |\psi(x)|^2$ erfasst wird.
> die Wellenfunktion einem Ensemble von identisch präparierten Quantenobjekten zugeordnet ist.
> $\psi(x)$ durch die Schrödingergleichung bestimmt werden kann.
> sich die zeitliche Entwicklung von $\psi(x)$ leichter berechnen lässt.
> $\psi(x)$ dem Superpositionsprinzip gehorcht.

Die Wellenfunktion $\psi(x)$ ist einem Ensemble von identisch präparierten Quantenobjekten zugeordnet und entwickelt sich nach den Gesetzen der klassischen Wellenlehre mit ihren typischen Phänomenen wie z. B. Beugung oder Interferenz. Quantenobjekte (z. B. Elektronen und Photonen) werden durch eine Wellenfunktion $\psi(x)$ beschrieben; das erklärt den Wellencharakter der Quantenobjekte. Dagegen gibt $|\psi(x)|^2 \cdot \Delta x$ (oder für den Raumbereich: $|\psi(x)|^2 \cdot \Delta V$ ) die Wahrscheinlichkeit an, ein Elektron an einem bestimmten Ort, also teilchenhaft (Fleckregistrierung auf einem Schirm) nachzuweisen.

Damit erklärt die Wahrscheinlichkeitsinterpretation, die auf Max Born zurückgeht (1926), mit ihrer Verbindung von wellenhafter Ausbreitung und teilchenhaftem Nachweis das Ergebnis des Doppelspaltexperiments: Den Aufbau des Interferenzmusters aus einzelnen Flecken. Es ist nicht mehr nötig, das Verhalten von Quantenobjekten entweder durch ein Wellenmodell oder durch ein Teilchenmodell zu beschreiben. Der naive Welle-Teilchen-Dualismus ist damit überwunden.

Born´sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation:

Quantenobjekte werden durch eine Wellenfunktion $\psi(x)$ beschrieben. Die Wellenfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit, ein Quantenobjekt im Intervall $\Delta x$ um den $Ort \: x$ nachzuweisen:

$P(x) \cdot \Delta x = |\psi(x)|^2 \cdot \Delta x$ .

Mit Hilfe der Born´schen Wahrscheinlichkeitsinterpretation wird das scheinbar unverständliche Verhalten von Quantenobjekten klarer: Es kann zwar nicht der Aufenthaltsort eines einzelnen Quantenobjekts vorhergesagt werden, wohl aber die Wahrscheinlichkeitsdichte $P(x)$ . Bei einem Ensemble von Quantenobjekten entspricht sie der Verteilung der relativen Häufigkeiten. Die Wellenfunktion $\psi(x)$ erfasst die wellenhafte Ausbreitung der Wellenfunktion und das teilchenhafte Verhalten beim Nachweis der Quantenobjekte in einem einheitlichen Bild. Damit ist der naive Welle-Teilchen-Dualismus überwunden.

Hier können Sie den Artikel „Die Ensemble-Interpretation der Quantenmechanik“ herunterladen.

5.6 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung beim Doppelspaltexperiment

In Experiment 5.6 (vgl. Lektion 5.4) haben wir gesehen, dass beim Doppelspaltversuch mit Elektronen die Verteilung $P(x)$ nicht der Summe der Einzelverteilungen $P_1(x)$ und $P_2(x)$ entspricht.

$P(x) \neq P_1(x) + P_2(x)$

Dieses Ergebnis lässt sich mit der Wellenfunktion leicht verstehen: Nach der klassischen Wellentheorie überlagern sich die beiden Wellen, wie man es z. B. auf der Oberfläche eines Sees beobachten kann, wenn man zwei Steine nicht allzuweit entfernt voneinander ins Wasser wirft. Mathematisch wird dies durch die Addition beider Wellenfunktionen zum Ausdruck gebracht:

$\psi(x) = \psi_1(x) + \psi_2(x)$ .

Man sagt, dass die Quantenobjekte, die durch eine solche Wellenfunktion beschrieben werden, sich in einem Überlagerungszustand (Superposition) aus $\psi_1(x)$ und $\psi_2(x)$ befinden, der durch die Addition zweier Wellenfunktionen entsteht.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(x)$ des Überlagerungszustands erhält man durch Quadrieren des Betrags der Wellenfunktion¹:

$P(x) = |\psi_1(x) + \psi_2(x)|^2$

$P(x) = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + 2 \cdot \psi_1(x) \cdot \psi_2(x)$

Den letzten Summanden nennt man Interferenzterm. Er ist dafür verantwortlich, dass man beim Doppelspaltexperiment mit zwei geöffneten Spalten eine Verteilung der Elektronen findet, für die gilt:

$P(x) \neq P_1(x) + P_2(x)$

und erklärt, warum man also nicht einfach die beiden Einzelspaltverteilungen addieren kann (vgl. Abb. 5.4.2 in Lektion 5.4).

¹Hier wird angenommen, dass die Wellenfunktion reelwertig ist. Im Fall von komplexwertigen Wellenfunktionen gilt: $P(x) = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + \psi_1(x) \cdot \psi_2^*(x) + \psi_1^*(x) \cdot \psi_2(x)$ .

5.7 Selbstkontrolle

In diesem Kapitel waren die folgenden Inhalte von Bedeutung:

Wellenverhalten von Elektronen: Elektronenbeugung.
Verhalten von Elektronen und Atomen am Doppelspalt.
Wellenlänge eines Elektrons.
Vergleich der Intensitätsverteilungen bei klassischen Teilchen und Elektronen.
Begriffe: Wahrscheinlichkeitsdichte, Wellenfunktion und Born´sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation.

Bevor Sie zum nächsten Kapitel weitergehen, vergewissern Sie sich, dass Sie über die Grundzüge dieser Inhalte Bescheid wissen. Anschließend können Sie dies anhand der Zusammenfassung überprüfen.

5.8 Zusammenfassung von Lektion 5: Elektronen als Quantenobjekte

In diesem Kapitel werden nach den Photonen in den vorangegangenen Kapiteln Elektronen als weitere Quantenobjekte behandelt.

Elektronen zeigen in der Elektronenbeugungsröhre und beim Doppelspaltexperiment Interferenzerscheinungen. Das gilt auch dann noch, wenn das Experiment mit einzelnen Elektronen durchgeführt wird.

Elektronen mit dem Impuls p kann eine Wellenlänge $\lambda = h/p$ zugeordnet werden.

Die Verteilung der Elektronen $P(x)$ ist beim Doppelspaltexperiment nicht gleich der Summe der beiden Einzelspaltverteilungen (wie dies für klassische Teilchen der Fall ist). Es gilt:

$P(x) \neq P_1(x) + P_2(x)$ .

Ein zentrales Element zur theoretischen Beschreibung von Quantenobjekten ist die Wellenfunktion $\psi(x)$ .

Born´sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation:
Quantenobjekte werden durch eine Wellenfunktion $\psi(x)$ beschrieben. Die Wellenfunktion bestimmt die Wahrscheinlichkeit, ein Quantenobjekt im Intervall $\Delta x$ um den Ort $x$ nachzuweisen:

$P(x) \cdot \Delta x = |\psi(x)|^2 \cdot \Delta x$ .

An die Stelle des naiven Welle-Teilchen-Dualismus tritt die Born´sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation.