7. Unbestimmtheit

Die Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation

7.1 Gleichzeitige Präparation verschiedener Eigenschaften – 7.2 Präparation von Ort und Impuls bei Photonen – 7.3 Ein Maß für die „Güte“ einer Präparation
7.4 Messverfahren und Eigenschaften – 7.5 Elektronen am Einzelspalt und die quantitative Formulierung der Unbestimmtheitsrelation
7.6 Unbestimmtheitsrelation und Bahnbegriff – 7.7 Selbstkontrolle – 7.8 Zusammenfassung

Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation wird oft als eine der wichtigsten Erkenntnisse der Quantenmechanik angesehen. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie sie sich als Aussage über die gleichzeitige Präparierbarkeit von Eigenschaften formulieren lässt.

Sie können sich dazu das etwas ausführlichere Kapitel 7 des Lehrtextes als pdf-Datei herunterladen.

7.1 Gleichzeitige Präparation verschiedener Eigenschaften

Als Vorbereitung zum Verständnis der Heisenberg´schen Unbestimmtheitsrelation wird noch einmal auf den Begriff der Präparation von Eigenschaften eingegangen (Präparation).

Abb. 7.1.1 Wurfmaschine aus Kapitel 2

Am Beispiel des waagerechten Wurfs, wie am Beispiel der Wurfmaschine aus Kapitel 2, erkennt man, dass zur Herstellung gleicher Anfangsbedingungen Ort und Impuls gleichzeitig präpariert werden müssen, d.h. identische Werte des Abschussortes und der Abschussgeschwindigkeit.
„Präparieren“ bedeutet, dass bei Messungen der präparierten Größe an einem Ensemble von Kugeln die Streuung der Messwerte verschwindet bzw. sehr klein wird. Dieses gleichzeitige Präparieren auf Ort und Impuls, also zweier Eigenschaften, bereitet bei Objekten in der klassischen Physik keine prinzipiellen Schwierigkeiten.

In der Quantenphysik können zwar einzelne Eigenschaften für ein Ensemble von Quantenobjekten präpariert werden (z. B. Polarisationseigenschaften bei Photonen), aber eben nicht gleichzeitig mehrere. Es gibt Paare von Eigenschaften (z. B. Ort und Impuls) deren gleichzeitige Präparation prinzipiell nicht möglich ist, obwohl die Präparation der einzelnen Eigenschaften auf keine grundsätzlichen Grenzen stößt. Dies ist der Inhalt der Heisenberg´schen Unbestimmtheitsrelation, die in den folgenden Abschnitten näher erläutert werden soll.

7.2 Präparation von Ort und Impuls bei Photonen

Um die Unmöglichkeit der gleichzeitigen Präparation von Ort und Impuls zu zeigen, wird folgender Versuch betrachtet, bei dem wir versuchen wollen, beide Eigenschaften zugleich herzustellen: Als Quantenobjekte benutzen wir die Photonen eines monochromatischen Laserstrahls.

Abb. 7.2.1 Laserbündel bestimmter Breite

Da der Strahl sehr gut gebündelt ist, ist die Impulskomponente^₁₎ $p_y$ senkrecht zur Strahlrichtung (also in y-Richtung) für alle Photoenen praktisch gleich Null, das bedeutet, die Streuung von möglichen Messwerten sehr vieler Photonen um den Wert $p_y= 0$ wäre verschwindend gering.

Demgegenüber besitzt der Laserstrahl eine gewisse räumliche Breite in y-Richtung. Mögliche Messwerte für die Ortskomponente y weisen also eine Streuung $\Delta y_0$ auf. Die Photonen sind demnach nicht auf die Eigenschaft „Ortskomponente y“ präpariert.

Um diese Präparation nun vorzunehmen – also die Streuung der Ortskomponente y zu reduzieren -, könnte man den Strahl einen engen Spalt passieren lassen.
Wir wissen aber aus der Wellenoptik: Fällt ein Laserstahl durch einen engen Spalt (Breite d), dann wird dieser hinter dem Spalt aufgeweitet. Variiert man die Spaltbreite, so erhält man folgendes Ergebnis: Je enger der Spalt, desto größer ist die Aufweitung.

Abb. 7.2.2 Beugung eines Laserbündels an einer Spaltblende

Durch den Spalt ist der Laserstrahl unmittelbar hinter dem Spalt schmaler geworden. Das bedeutet, dass die Messwerte der Ortskomponente y in der Spaltebene weniger stark streuen: Die Streuung ist von $\Delta y_0$ auf $\Delta y \approx d$ vermindert worden. Das entspricht einer Verbesserung der Ortspräparation. Doch leider zeigt die Aufweitung des Strahls hinter dem Spalt, dass die Photonen nicht mehr gebündelt sind: Die Photonen streuen nun in Querrichtung und haben ihre Eigenschaft „Impulskomponente $p_y =0$ “ verloren.

Fazit: Die Ortsstreuung der Photonen in y-Richtung unmittelbar hinter dem Spalt konnte mit dem Spalt verringert werden. Aber gleichzeitig ist die Impulsstreuung in y-Richtung vergrößert worden. Ort und Impuls konnten nicht gleichzeitig präpariert werden.

Dieses ist ein allgemeines Prinzip in der Quantenmechanik, das wie folgt formuliert werden kann:

Heisenberg´sche Unbestimmheitsrelation:
Es ist nicht möglich, ein Ensemble von Quantenobjekten gleichzeitig auf Ort und Impuls zu präparieren.

Diskussion der Schulbuchzugänge

¹⁾ Zum Photonenimpuls siehe Kapitel 1.4.

7.3 Ein Maß für die „Güte“ einer Präparation

Die Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation kann man auch noch quantitativer formulieren, nämlich als eine Beziehung, die angibt, wie „gut“ man Ort und Impuls an einem Ensemble von Quantenobjekten gleichzeitig präparieren kann.
Der zu klärende Ausdruck „Güte einer Präparation“ lässt sich am Beispiel des Einzelspaltexperiments mit Elektronen erläutern.

Gedankenexperiment: Ein Strahl von Elektronen fällt auf einen Spalt der Breite d. Unmittelbar hinter dem Spalt steht ein hochauflösender Detektor, der die Elektronen mit einer weit höheren Auflösung als der Spaltbreite nachweisen kann. Er registriert die Zahl der Elektronen, die pro Sekunde an einer bestimmten Stelle ankommen (Abb. 7.3.1).

Abb. 7.3.1 Präparation der Eigenschaft Ort an einem Elektronenstrahl

Der Detektor führt Ortsmessungen an den Elektronen durch, die vom Spalt durchgelassen werden. Um die Verteilung der Messwerte innerhalb dieses Gebietes statistisch zu erfassen, ermittelt man ihren Mittelwert $\overline{y}$ und ihre Standardabweichung $\Delta_y$ . Der Mittelwert gibt an, wo die Verteilung der Messwerte ihren „Schwerpunkt“ besitzt, die Standardabweichung ist ein Maß für ihre Streuung. Die Verteilung der Ortsmesswerte ist in obiger Abbildung dargestellt. Wenn der Spalt relativ schmal ist, ist auch die Streuung recht klein. Bei einem breiteren Spalt weisen die Ortsmesswerte eine größere Streuung auf.

Wenn die Streuung der Messwerte Null ist, ist die Präparation perfekt (was in unserem Fall nie zu erreichen ist, weil der Spalt dann geschlossen wäre). Wenn die Standardabweichung nicht Null ist, bedeutet das, dass die Messwerte streuen. In diesem Fall ist die Präparation nicht perfekt und die Standardabweichung gibt darüber Auskunft, wie sehr die Präparation der betreffenden Eigenschaft von einer idealen Präparation abweicht.

Die „Güte“ der Präparation einer Eigenschaft (z. B. Ortskomponente y) kann man anhand der Streuung der Messwerte bei einer Testmessung beurteilen. Je kleiner die Standardabweichung $\Delta_y$ der Messwerte ist, um so besser ist die Eigenschaft präpariert.

Mit $\Delta_y =0 \: \Rightarrow$ Präparation ist perfekt (keine Streuung der Messwerte).

Mit $\Delta_y \neq 0\: \Rightarrow$ Präpration nicht perfekt (Streuung der Messwerte).

7.4 Messverfahren und Eigenschaften

Den Zusammenhang zwischen der Streuung von Messwerten und der Eigenschaft, die ein Objekt besitzt, kann man anhand einer Analogie aus der klassischen Physik noch einmal verdeutlichen.
Dazu betrachten wir runde und quadratische Metallplatten. Die runden Platten besitzen die Eigenschaft „Durchmesser“. Den quadratischen Platten kann man eine solche Eigenschaft nicht zuschreiben, die Frage nach ihrem Durchmesser ist sinnlos.

> Was passiert, wenn man trotzdem versucht, an den quadratischen Platten einen Durchmesser zu messen?

Oder:

> Was ist das Ergebnis, wenn man versucht, eine Eigenschaft zu messen, die dem betreffenden Objekt gar nicht zukommt?

Um die Antwort zu finden, muss man sich ein Messverfahren für die Eigenschaft „Durchmesser“ ausdenken. Mit einem Maßband kann man unter verschiedenen Winkeln den Abstand von Kante zu Kante messen. Dabei gilt als Nebenbedingung, dass das Maßband immer durch den Mittelpunkt des Objekts gehen muss.

Abb. 7.4.1 Messverfahren für die Eigenschaft „Durchmesser“

> Bei den runden Platten erhält man immer denselben Messwert $\Rightarrow$ sie besitzen die Eigenschaft „Durchmesser“.

> Bei den quadratischen Platten streuen die Messwerte $\Rightarrow$ sie besitzen diese Eigenschaft nicht.

Nach demselben Prinzip kann nach der Eigenschaft „Seitenlänge“ gefragt werden.

Abb. 7.4.2 Messverfahren für die Eigenschaft „Seitenlänge“

Bei diesem Messverfahren streuen die Messwerte für die runden Platten, während man bei den quadratischen Platten immer denselben Messwert erhält, der die Seitenlänge der Platten angibt.

Dies zeigt, dass es schon bei makroskopischen Objekten Beispiele gibt, bei denen man mit der Zuordnung einer Eigenschaft vorsichtig sein muss bzw. dass es Situationen gibt, in denen die gleichzeitige Präparation zweier Eigenschaften (hier: Durchmesser und Seitenlänge) nicht möglich ist.

Bei Quantenobjekten muss man sich im Allgemeinen mittels geeignetem Präparationsverfahren bei jeder Eigenschaft vergewissern, ob die Zuordnung sinnvoll ist.

Ein Beispiel: Man kann Licht durch ein waagerecht orientiertes Polarisationsfilter schicken (z. B. mithilfe des Simulationsexperiments Polfilter.exe, das Sie aus Kapitel 2.4 vielleicht schon kennen). Die Photonen hinter dem Filter sind nun auf die Eigenschaft „waagerecht polarisiert“ präpariert (Abb. 7.4.3). Ein Test bestätigt dies (= vollständiger Durchgang durch ein zweites, waagerechtes Polarisationsfilter).

Versucht man nun mithilfe eines zweiten, senkrecht orientierten Polarisationsfilters diese Photonen zusätzlich auf die Eigenschaft „senkrecht polarisiert“ zu präparieren (s. Abb. 7.4.4), muss man scheitern: Kein einziges Photon passiert das zweite, senkrecht orientierte Filter. Es gibt also keine Photonen mit der Eigenschaft „waagerecht polarisiert“, die gleichzeitig auf die Eigenschaft „senkrecht polarisiert“ präpariert sind.

Die beiden Eigenschaften sind nicht gleichzeitig präparierbar, es sind einander ausschließende Eigenschaften.

7.5 Elektronen am Einzelspalt und die quantitative Formulierung der Unbestimmtheitsrelation

Es stellt sich die Frage, in welchem Ausmaß Orts- und Impulspräparation unvereinbar sind?
Anders gefragt: Gibt es eine Grenze, wie nahe man dem Ideal einer perfekten Präparation kommen kann?

Wir wollen im Folgenden die Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation quantitativ als eine Beziehung zwischen den Maßzahlen für die Güte der Präparation von Ort $(\Delta y)$ und Impuls $(\Delta p_y)$ ausdrücken (den jeweiligen Streuwerten oder Standardabweichungen, s. Abschnitt 7.4). Dazu betrachten wir noch einmal das verbreiterte Beugungsmuster für einen Elektronenstrahl, der durch einen schmaler werdenden Einzelspalt verläuft (Abb. 7.5.1, Experiment 7.4 im Skript).

Auch hier werden wieder an einem Ensemble von Elektronen unmittelbar hinter dem Spalt die Verteilung der Orts- sowie der Impulsmesswerte aufgenommen (vgl. Abschnitt 7.3), in ein Histogramm übertragen und die Standardabweichungen (Orts- $(\Delta y)$ und Impulsstreuung $(\Delta p_y)$ ) ermittelt. Dabei ergibt sich für einen breiten Spalt eine relativ große Ortsstreuung, aber eine kleine Impulsstreuung (Abb. 7.5.2).

Für einen schmalen Spalt ist dagegen die Ortsstreuung klein, aber die Impulsstreuung groß (Abb. 7.5.3).

Die Streuung der Impulsmesswerte nimmt zu, wenn die Streuung der Ortsmesswerte abnimmt und umgekehrt: Die beiden Streuungen scheinen im vorliegenden Beispiel reziprok miteinander verknüpft zu sein. Das heißt: Je größer die Streuung der Querimpulse (in y-Richtung, $p_y$ ), desto breiter das Beugungsbild. Daher kann man mit der Breite des Beugungsmusters auf dem Schirm die Streuung der Impulsmesswerte am Spalt abschätzen.

Abschätzung der Impulsstreuung

Der Großteil der Elektronen wird auf dem Schirm innerhalb des Hauptmaximus der Beugungsfigur registriert, also innerhalb des Winkelbereichs zwischen $+ \alpha$ und $- \alpha$ (Abb. 7.5.4). Zur Abschätzung der Streuung der Querimpulse $\Delta p_y$ kann man sich daher auf diesen Bereich beschränken.

Aus Abbildung 7.5.4 b) ergibt sich:

$\sin \alpha \approx \Delta p_y /p$ bzw. $\Delta p_y \approx p \cdot \sin \alpha$ .

Der Bereich des Hauptmaximums ist durch die ersten Beugungsminima begrenzt, seine Lage ist aus der klassischen Optik bekannt:

$\sin \alpha = \lambda / d$ .

Im Fall der Elektronen ist $\lambda$ die de-Broglie-Wellenlänge $(\lambda = h/p)$ des auf den Impuls $p$ präparierten einfallenden Strahls – es ergibt sich:

$h/ (p \cdot d) \approx \Delta p_y / p$ .

Eliminiert man $p$ und schätzt schließlich die Streuung der Ortsmesswerte $\Delta y$ durch die Spaltbreite $d$ ab ( $d \approx \Delta y$ unmittelbar hinter dem Spalt), dann kommt man auf:

$\Delta y \cdot \Delta p_y \approx h$

Das Produkt der beiden Streuungen ist in diesem Beispiel immer von der Größenordnung der Planck´schen Konstanten $h \: (h = 6,626 · 10^{-34} Js)$ .

Obige Gleichung stellt die quantitative Formulierung der Heisenberg´schen Unbestimmtheitsrelation für das spezielle Beispiel des Spalts dar. In ihrer allgemeinen Form beschreibt sie generell, wie gut Orts- und Impulspräparation gleichzeitig möglich sind:

Hat man ein Ensemble von Quantenobjekten so präpariert, dass die Streuung der Ortsmesswerte $\Delta y$ klein ist, wird die Streuung der Impulsmesswerte $\Delta p_y$ groß sein (und umgekehrt). Es gilt der Zusammenhang:

$\displaystyle{\Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{h}{4 \pi}}$

Hier finden sie einige zusätzliche Erläuterungen zur Unbestimmtheitsrelation.

Hier können Sie sich ein Arbeitsblatt herunterladen.

Die Interpretation der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation
(erschienen in „Physik in der Schule“ 35 (1997), S. 176 – 179; S. 218 – 221).

7.6 Unbestimmtheitsrelation und Bahnbegriff

Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation bedeutet den Abschied vom Begriff der Bahn eines Teilchens, wie er in der klassischen Physik verwendet wird.
Der Bahnbegriff ist mit der Vorstellung verbunden, dass das Objekt zu jedem Zeitpunkt gleichzeitig einen bestimmten Ort und einen bestimmten Impuls (Geschwindigkeit) besitzt, was in der klassischen Mechanik relativ selbstverständlich ist.
Quantenobjekte können jedoch niemals die Eigenschaften „Ort“ und „Impuls“ zugleich besitzen. Das Produkt der Streuungen $\Delta y \cdot \Delta p_y$ muss nach der Heisenberg´schen Unbestimmtheitsrelation immer in der Größenordnung der Planck´schen Konstante h oder größer sein.

Doch wie ist dies mit der Beobachtung zu vereinen, dass Elektronen in einer Elektronenstrahlröhre scheinbar auf einer wohldefinierten Bahn verlaufen?

Um diesen scheinbaren Widerspruch aufzulösen, betrachten wir folgendes Beispiel:

In einer Elektronenstrahlröhre wird der Elektronenstrahl an der Anode auf eine Breite von $\Delta y_1 \approx d = o,1 mm$ abgeblendet (Abb. 7.6.1).

Abb. 7.6.1 „Bahn“ der Elektronen in einer Elektronenstrahlröhre

Die Streuung der Impulse in $y$ -Richtung (also quer zur Strahlrichtung) ist daher mindestens:

$\Delta p_y = h / (4 \pi \cdot \Delta y_1) = 5,3 \cdot 10^{-31} kg \: m/s$ .

Die Geschwindigkeitsstreuung in $y$ -Richtung erhält man, indem man $\Delta p_y$ durch die Elektronenmasse teilt:

$\Delta v_y = \Delta p_y / m_e = 0,58 m/s$ .

Zum Vergleich berechnet man die Geschwindigkeit in $x$ -Richtung (also in Strahlrichtung), die ein Elektron bei einer Beschleunigungsspannung von $1 kV$ besitzt:

Es gilt: $e \cdot U = 1/2 m \cdot \displaystyle{v^2_x}$ , man erhält damit für $v_x = 1,9 \cdot 10^7 m/s$ .

Um eine Strecke von $L = 20 cm$ zu durchqueren, benötigen die Elektronen die Zeit $t = L/v_x = 1,1 \cdot 10^{-8} s$ .

In dieser Zeit weitet sich der Strahl in Querrichtung um $b \approx \Delta y_2 = \Delta v_y \cdot t = 6 \cdot 10^{-9}m$ auf, was jenseits aller Nachweisbarkeit liegt. Die Erkennbarkeit einer „Bahn“ in der Elektronenstrahlröhre widerspricht der Unbestimmtheitsrelation also nicht.

7.7 Selbstkontrolle

In diesem Kapitel waren die folgenden Inhalte von Bedeutung:

Gleichzeitige Präparation verschiedener Eigenschaften ist im Bereich der klassischen Physik möglich.
Unmöglichkeit der Präparation von Ort und Impuls bei Quantenobjekten.
Was versteht man unter der Standardabweichung und welches Maß wird damit definiert?
Die Güte einer Präparation.
Herleitung der Unbestimmtheitsrelation.
Der Abschied vom Bahnbegriff eines Teilchens.

Bevor Sie zum nächsten Kapitel weitergehen, vergewissern Sie sich, dass Sie über die Grundzüge dieser Inhalte Bescheid wissen. Anschließend können Sie dies anhand der Zusammenfassung überprüfen.

Hier können Sie sich eine Selbstkontrolle der bisherigen Inhalte des Kurses herunterladen.

7.8 Zusammenfassung von Lektion 7: Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation

Qualitativ kann man die Unbestimmtheitsrelation als eine Aussage über die gleichzeitige Präparierbarkeit von bestimmten Eigenschaftspaaren wie Ort und Impuls formulieren.
In der klassischen Physik ist die gleichzeitige Präparation von Ort und Impuls prinzipiell möglich. In der Quantenmechanik gelingt dies nicht mehr.
Präparieren einer Eigenschaft heißt, die Streuung der Messwerte zum Verschwinden zu bringen.
Als Maß für die Güte einer Präparation kann man die Standardabweichung $\Delta x$ der Messwerte bei einer Testmessung verwenden.
Ist die Standardabweichung Null, dann streuen die Messwerte nicht und die Präparation ist perfekt.
Ist ein Ensemble von Quantenobjekten so präpariert, dass die Streuung der Messwerte der Ortsstreuung klein ist, dann wird die Streuung der Impulsmesswerte groß sein und umgekehrt. Es gilt die Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation

$\Delta y \cdot \Delta p_y \ge \frac{h}{4 \pi}$

Die Heisenberg´sche Unbestimmtheitsrelation zwingt uns, den klassischen Bahnbegriff aufzugeben.